Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
Источники: Основная волна ОГЭ 2022, ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Оба автомобилиста проехали одинаковое расстояние, обозначим его за 1.
Пусть первый проехал весь путь со скоростью х км/ч. Тогда времени он потратил на весь путь \frac{1}{x}.
Второй автомобилист проехал первую \frac{1}{2} половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути \frac{1}{2}, со скоростью х + 6 км/ч. На весь путь времени он затратил:
\frac{\frac{1}{2}}{55}+\frac{\frac{1}{2}}{x+6}
Зная, что в пункт В они прибыли одновременно, т.е. их время в пути равно, составим уравнение:
\frac{1}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{55}+\frac{\frac{1}{2}}{x+6}
Знаменатель дроби не может быть равен 0:
х ≠ 0,
х + 6 ≠ 0
x ≠ –6
Умножим обе части уравнения на 2:
\frac{2}{x}=\frac{1}{55}+\frac{1}{x+6}\\\frac{2}{x}=\frac{1\cdot (x+6)+1\cdot 55}{55(x+6)}\\\frac{2}{x}=\frac{x+61}{55(x+6)}
2·55·(x + 6) = x·(x + 61)
110x + 660 = x2 + 61x
x2 + 61x – 110x – 660 = 0
x2 – 49x – 660 = 0
D = (–49)2 – 4·1·(–660) = 5041 = 712
x_{1}=\frac{49+71}{2\cdot 1}=\frac{120}{2}=60 \:км/ч \\ x_{2}=\frac{49–71}{2\cdot 1}=\frac{-22}{2}=-11\color{Blue} \lt 0
Ответ: 60 км/ч.