Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Теплоход был в пути (без времени стоянки):
35 – 23 = 12 часов
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде х км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки x + 5 км/ч, а против течения x – 5 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{80}{x+5} часов, а на путь против течения \frac{80}{x–5} часов. Зная что общее время в пути 18 часов, составим уравнение:
\frac{80}{x+5}+\frac{80}{x–5}=12\:{\color{Blue} |: 4}\\\frac{20}{x+5}+\frac{20}{x–5}=3\\\frac{20(x–5)+20(x+5)}{(x+5)(x–5)}=3\\\frac{20x–100+20x+100}{x^{2}–25}=3\\\frac{40x}{x^{2}–25}=\frac{3}{1}
(x2 – 25)·3 = 40x·1
3x2 – 40x – 75 = 0
D = (–40)2 – 4·3·(–75) = 2500 = 502
x_{1}=\frac{40+50}{2\cdot 3}=\frac{90}{6}=15\:км/ч\\x_{2}=\frac{40–50}{2\cdot 3}=\frac{–10}{6}\:{\color{Blue} <0\notin }
Ответ: 15.