Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Теплоход был в пути (без времени стоянки):
23 – 5 = 18 часов
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде х км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки x + 5 км/ч, а против течения x – 5 км/ч.
Время потраченное на путь по течению:
\frac{216}{x+5}
А на путь против течения:
\frac{216}{x–5}
Зная что общее время в пути 18 часов, составим уравнение:
\frac{216}{x+5}+\frac{216}{x–5}=18\; {\color{blue} |:18}\\\frac{12}{x+5}+\frac{12}{x–5}=1\\\frac{12(x–5)+12(x+5)}{(x+5)(x–5)}=1\\\frac{12(x–5+x+5)}{x^{2}–25}=1\\\frac{12\cdot 2x}{x^{2}–25}=\frac{1}{1}
(x2 – 25)·1 = 24x·1
x2 – 25 = 24x
x2 – 24x – 25 = 0
D = (–24)2 – 4·1·(–25) = 676 = 262
x_{1}=\frac{24+26}{2\cdot 1}=\frac{50}{2}=25\\x_{2}=\frac{24–26}{2\cdot 1}=\frac{–2}{2}=-1\:
Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость теплохода равна 25 км/ч.
Ответ: 25.