Решение №3474 Решите уравнение (x^2 + x – 6)^2 + (x^2 – 9)^2 = 0.

Решение:

(x² + x – 6)² + (x² – 9)² = 0
(x² + x – 6)² + (x² – 3²)² = 0
(x² + x – 6)² + ((x – 3)·(x + 3))² = 0

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x² + x – 6 = 0
D = 1² – 4·1·(–6) = 1 + 24 = 25 = 5²
x_{1}=\frac{–1+5}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\\x_{2}=\frac{–1–5}{2\cdot 1}=\frac{–6}{2}=-3 
x² + x – 6 = (x – 2)(x –(–3)) = (x – 2)(x + 3)

((x – 2)(x + 3))² + ((x – 3)·(x + 3))² = 0
(x – 2)²·(x + 3)² + (x – 3)²·(x + 3)² = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

(x + 3)²·((x – 2)² + (x – 3)²) = 0

    Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
(x + 3)² = 0
x₁ = –3
или
(x – 2)² + (x – 3)² = 0
х² – 4х + 4 + х² – 6х + 9 = 0
2х² – 10х + 13 = 0
D = (–10)² – 4·2·13 = 100 – 104 = –4 < 0 корней нет

Ответ: –3.