Решите уравнение (x2 – 25)2 + (x2 + 2x – 15)2 = 0.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (50 вар)
Способ 1
Решение:
(x2 – 25)2 + (x2 + 2x – 15)2 = 0
Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если они оба равны нулю. Получаем систему уравнений:
\begin{cases} (x^{2}-25)^{2}=0 \\ (x^{2}+2x-15)^{2}=0 \end{cases}\\\begin{cases} x^{2}-25=0 \\ x^{2}+2x-15=0 \end{cases}
Решаем первое уравнение:
х2 – 25 = 0
х2 = 25
х1 = +√25 = 5
х2 = –√25 = –5
Решаем второе уравнение:
x2 + 2x – 15 = 0
D = 22 – 4·1·(–15) = 4 + 60 = 64 = 82
x_{3}=\frac{–2+8}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\\x_{4}=\frac{–2–8}{2\cdot 1}=\frac{–10}{2}=-5
Т.к. это система уравнений то в ответ пишем корень, который является решением каждого из уравнений, а это х = –5.
Ответ: –5.
Способ 2
Решение:
(x2 – 25)2 + (x2 + 2x – 15)2 = 0
(x2 – 52)2 + (x2 + 2x – 15)2 = 0
((x – 5)(x + 5))2 + (x2 + 2x – 15)2 = 0
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
x2 + 2x – 15 = 0
D = 22 – 4·1·(–15) = 4 + 60 = 64 = 82
x_{1}=\frac{–2+8}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\\x_{2}=\frac{–2–8}{2\cdot 1}=\frac{–10}{2}=-5
x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x –(–5)) = (x – 3)(x + 5)
((x – 5)(x + 5))2 + ((x – 3)(x + 5))2 = 0
(x – 5)2·(x + 5)2 + (x – 3)2·(x + 5)2 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
(x + 5)2·((x – 5)2 + (x – 3)2) = 0
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
(x + 5)2 = 0
x1 = –5
или
(x – 5)2 + (x – 3)2 = 0
х2 – 10х + 25 + х2 – 6х + 9 = 0
2х2 – 16х + 34 = 0
х2 – 8х + 17 = 0
D = (–8)2 – 4·1·17 = 64 – 68 = –4 < 0 корней нет
Ответ: –5.