Найдите пятизначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 85, но меньше 95. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Источник: Ященко ЕГЭбаза 2023 (30 вар).
Решение:
Число должно делится нацело на 75:
75 = 25·3
Чтобы число было кратно 75, оно должно делиться и на 25 и на 3.
Признаки делимости:
▶ Если сумма цифр числа делится на три, то число делится на 3.
▶ Если число оканчивается на 00, 25, 50, 75 то это число делится на 25.
Для того чтобы произведение цифр не было равно 0 это число не должно содержать 0, значит окончания 00 и 50 не подходят, остаются 25 и 75.
Если число оканчивается на 75 (7·5 = 35), то произведение первых трёх цифр должно быть больше чем 85/35 = 2,4 и меньше чем 95/35 = 2,7 – это невозможно т.к. произведение цифр является целым числом.
Остаётся что искомое пятизначное число оканчивается на 25 (5·2 = 10).
Найдём первые три цифры. Произведение первых трёх цифр должно быть больше чем 85/10 = 8,5 и меньше чем 95/10 = 9,5 значит, произведение первых трёх цифр равно 9, например, цифры 1, 1, 9, тогда сумма цифр числа будет равна:
1 + 1 + 9 + 2 + 5 = 18
Сумма цифр числа делится на 3 (18/3 = 6), значит и само число делится на 3.
Получаем, что одно из пятизначных чисел, кратных 75 и произведение цифр которого больше 85, но меньше 95:
11925
Проверим:
11925/75 = 159
1·1·9·2·5 = 90
85 < 90 < 95
Ответ: 11925.