15 января планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца нужно внести один платёж для погашения долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что седьмой платёж равен 64 тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей, которые будут выплачены банку в течение всего срока кредитования.
Источник: statgrad
Решение:
Обозначим:
S тыс. рублей – сумма кредита в банке на 13 месяцев;
4% = 0,04 – процент на который возрастает долг каждый месяц.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый месяц.
«15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.»
Это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество месяцев, т.е \frac{S}{13}) + начисленные % за этот месяц (0,04·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу кредитования:
| Месяц | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| на 15 число месяца, до % | 1 число месяца, после % | |||
| 1 | S | S + 0,04·S | \frac{S}{13} + 0,04·S | S + 0,04·S – (\frac{S}{13} + 0,04·S) = \frac{12\cdot S}{13} |
| 2 | \frac{12\cdot S}{13} | \frac{12\cdot S}{13} + 0,04·\frac{12\cdot S}{13} | \frac{S}{13} + 0,04·\frac{12\cdot S}{13} | \frac{12\cdot S}{13} + 0,04·\frac{12\cdot S}{13} – (\frac{S}{13} + 0,04·\frac{12\cdot S}{13}) = \frac{11\cdot S}{13} |
| 3 | \frac{11\cdot S}{13} | \frac{11\cdot S}{13} + 0,04·\frac{11\cdot S}{13} | \frac{S}{13} + 0,04·\frac{11\cdot S}{13} | \frac{11\cdot S}{13} + 0,04·\frac{11\cdot S}{13} – (\frac{S}{13}+ 0,04·\frac{11\cdot S}{13}) =\frac{10\cdot S}{13} |
| … | … | … | … | … |
| 7 | \frac{7\cdot S}{13} | \frac{7\cdot S}{13} + 0,04·\frac{7\cdot S}{13} | \frac{S}{13} + 0,04·\frac{7\cdot S}{13} | \frac{7\cdot S}{13} + 0,04·\frac{7\cdot S}{13} – (\frac{S}{13}+ 0,04·\frac{7\cdot S}{13}) =\frac{6\cdot S}{13} |
| … | … | … | … | … |
| 13 | \frac{1\cdot S}{13} | \frac{S}{13} + 0,04·\frac{S}{13} | \frac{S}{13} + 0,04·\frac{S}{13} | \frac{S}{13} + 0,04·\frac{ S}{13} – (\frac{S}{13}+ 0,04·\frac{ S}{13}) = 0 |
Зная, что 7-й платёж равен 64 тыс. рублей, найдём S:
\frac{S}{13} + 0,04\cdot \frac{7\cdot S}{13}= 64\:{\color{Blue} |\cdot 13} \\S + 0,04\cdot 7\cdot S= 64\cdot 13\\1,28S= 832\\S=\frac{832}{1,28}=650тыс.руб.
Сложим все платежи за 13 месяцев:
\frac{S}{13}+ 0,04\cdot S+\frac{S}{13}+ 0,04·\frac{12\cdot S}{13}+\frac{S}{13}+0,04·\frac{11\cdot S}{13}+…+\frac{S}{13}+ 0,04·\frac{S}{13}
Сложив все \frac{S}{13} получим ровно S. А у % вынесем общий множитель:
S+ 0,04\cdot S\cdot (1+\frac{12}{13}+\frac{11}{13}+…+\frac{1}{13})=S+ 0,04\cdot S\cdot (\frac{13+12+11+…+1}{13})=S+ 0,04\cdot S\cdot \frac{91}{13}=S+0,04\cdot S\cdot 7=1,28S
Зная, что S = 650 тыс. рублей, найдём сумму всех платежей в рублях:
1,28S = 1,28·650 = 832 тыс. рублей
Ответ: 832 тыс. руб.