15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо оплатить часть долга одним платежом;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма платежей после полного погашения равнялась 4,6 млн рублей?
Источник: statgrad
Решение:
Обозначим:
S тыс. рублей – сумма кредита в банке на 9 месяцев;
3% = 0,03 – процент на который возрастает долг каждый месяц.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый месяц.
«15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.»
Это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество месяцев, т.е \frac{S}{9}) + начисленные % за этот месяц (0,03·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу для первого года кредитования:
| Месяц | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| на 15 число месяца, до % | 1 число месяца, после % | |||
| 1 | S | S + 0,03·S | \frac{S}{9} + 0,03·S | S + 0,03·S – (\frac{S}{9} + 0,03·S) = \frac{8\cdot S}{9} |
| 2 | \frac{8\cdot S}{9} | \frac{8\cdot S}{9} + 0,03·\frac{8\cdot S}{9} | \frac{S}{9} + 0,03·\frac{8\cdot S}{9} | \frac{8\cdot S}{9} + 0,03·\frac{8\cdot S}{9} – (\frac{S}{9} + 0,03·\frac{8\cdot S}{9}) = \frac{7\cdot S}{9} |
| 3 | \frac{7\cdot S}{9} | \frac{7\cdot S}{9} + 0,03·\frac{7\cdot S}{9} | \frac{S}{9} + 0,03·\frac{7\cdot S}{9} | \frac{7\cdot S}{9} + 0,03·\frac{7\cdot S}{9} – (\frac{S}{9} + 0,03·\frac{7\cdot S}{9}) =\frac{6\cdot S}{9} |
| … | … | … | … | … |
| 9 | \frac{1\cdot S}{9} | \frac{1\cdot S}{9} + 0,03·\frac{1\cdot S}{9} | \frac{S}{9} + 0,03·\frac{1\cdot S}{9} | \frac{1\cdot S}{9} + 0,03·\frac{1\cdot S}{9} – (\frac{S}{9} + 0,03·\frac{1\cdot S}{9}) = 0 |
Сложим все платежи за 9 месяцев:
\frac{S}{9}+ 0,03\cdot S+\frac{S}{9}+ 0,03·\frac{8\cdot S}{9}+\frac{S}{9}+0,03·\frac{7\cdot S}{9}+…+\frac{S}{9}+ 0,03·\frac{1\cdot S}{9}
Сложив все \frac{S}{9} получим ровно \frac{9S}{9}=S. А у % вынесем общий множитель. По условию сумма платежей равна 4600000 рублей:
S+ 0,03\cdot S\cdot (1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+…+\frac{1}{9})=4600000\\S+ 0,03\cdot S\cdot \frac{45}{9}=4600000\\S+ 0,03\cdot S\cdot 5=4600000\\S+ 0,15\cdot S=4600000\\1,15\cdot S=4600000\\S=\frac{4600000}{1,15}=4000000\:рублей
Ответ: 4 000 000.