15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 % больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Источник: statgrad

Решение:

  S тыс. рублей, сумма взятого кредита;
  S + 0,4·S = 1,4·S тыс. рублей, общая сумма выплат после полного погашения кредита;

  r% каждый месяц, \frac{r}{100} – процент в виде десятичной дроби;
  \frac{S}{15}равная выплачиваемая часть долга, каждый из 15 месяцев.

МесяцДолг начальный%Выплаты (\frac{S}{15} + начисленные %)
Остаток долга (долг начальный + % – выплата)
1S\frac{r}{100}\cdot S\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot S(S+\frac{r}{100}\cdot S)-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot S)=\frac{14S}{15}
2\frac{14S}{15}\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15}\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15}(\frac{14S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15})=\frac{13S}{15}
3\frac{13S}{15}\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15}\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15}(\frac{13S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15})=\frac{12S}{15}
.
.
.
14\frac{2S}{15}\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15}\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15}(\frac{2S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15})=\frac{S}{15}
15\frac{S}{15}\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15}\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15}(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15})=0

    Складываем выплаты за все месяцы и упрощаем выражение (складывая слагаемые в скобках, используем формулу арифметической прогрессии):

\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot S+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15}+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15}+…+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15}+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15}=S+\frac{r}{100}\cdot (S+\frac{14S}{15}+\frac{13S}{15}+…+\frac{2S}{15}+\frac{S}{15})=S+\frac{r}{100}\cdot \frac{120S}{15}=S+\frac{r}{100}\cdot 8S=S+\frac{r\cdot 2\cdot S}{25}

    Зная, что общая сумма выплат 1,4·S тыс. рублей, получаем уравнение:

S+\frac{r\cdot 2\cdot S}{25}=1,4\cdot S\:{\color{Blue} |: S}\\1+\frac{r\cdot 2}{25}=1,4\\\frac{r\cdot 2}{25}=1,4-1\\\frac{r\cdot 2}{25}=0,4\:{\color{Blue} |\cdot 25} \\2r=10\\r=\frac{10}{2}=5\%

Ответ: 5%.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 4

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.