15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 % больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: statgrad
Решение:
S тыс. рублей, сумма взятого кредита;
S + 0,4·S = 1,4·S тыс. рублей, общая сумма выплат после полного погашения кредита;
r% каждый месяц, \frac{r}{100} – процент в виде десятичной дроби;
\frac{S}{15} – равная выплачиваемая часть долга, каждый из 15 месяцев.
| Месяц | Долг начальный | % | Выплаты (\frac{S}{15} + начисленные %) | Остаток долга (долг начальный + % – выплата) |
| 1 | S | \frac{r}{100}\cdot S | \frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot S | (S+\frac{r}{100}\cdot S)-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot S)=\frac{14S}{15} |
| 2 | \frac{14S}{15} | \frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15} | \frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15} | (\frac{14S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15})=\frac{13S}{15} |
| 3 | \frac{13S}{15} | \frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15} | \frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15} | (\frac{13S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15})=\frac{12S}{15} |
| . . . | … | … | … | … |
| 14 | \frac{2S}{15} | \frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15} | \frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15} | (\frac{2S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15})=\frac{S}{15} |
| 15 | \frac{S}{15} | \frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15} | \frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15} | (\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15})-(\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15})=0 |
Складываем выплаты за все месяцы и упрощаем выражение (складывая слагаемые в скобках, используем формулу арифметической прогрессии):
\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot S+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{14S}{15}+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13S}{15}+…+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S}{15}+\frac{S}{15}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{15}=S+\frac{r}{100}\cdot (S+\frac{14S}{15}+\frac{13S}{15}+…+\frac{2S}{15}+\frac{S}{15})=S+\frac{r}{100}\cdot \frac{120S}{15}=S+\frac{r}{100}\cdot 8S=S+\frac{r\cdot 2\cdot S}{25}
Зная, что общая сумма выплат 1,4·S тыс. рублей, получаем уравнение:
S+\frac{r\cdot 2\cdot S}{25}=1,4\cdot S\:{\color{Blue} |: S}\\1+\frac{r\cdot 2}{25}=1,4\\\frac{r\cdot 2}{25}=1,4-1\\\frac{r\cdot 2}{25}=0,4\:{\color{Blue} |\cdot 25} \\2r=10\\r=\frac{10}{2}=5\%
Ответ: 5%.