Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.

а) Докажите, что прямая BD пересекает отрезок CE в середине DT.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD = 12, АЕ = 2√3.

Источник задания: ЕГЭ – 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021.

Решение:

    AE = ED = CD, AC⊥BE, Т – точка пересечения АС и ВD.
    Обозначим: К – точка пересечения АС и ВЕ, М – точка пересечения СЕ и DT.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.

а) Доказать: DM = МТ.
а) Докажите, что прямая BD пересекает отрезок CE в середине DT.

    ∠ЕВК = ∠АСЕ = ∠ECD = ∠CED = ∠α – как вписанные углы окружности опирающиеся на равные дуги ‿ED = ‿AE = ‿CD (равны хорды стягивающие дуги).
    Т.к. AC⊥BE, то ∠ВКТ = 90°.
    Рассмотрим ΔКВТ и ΔТСМ, в них ∠КТВ = ∠СТМ – вертикальные, ∠КВТ = TCM – совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит и третьи углы равны ∠ВКТ = ∠ТМС = 90°.
    В ΔТСD МС является медианой и высотой, значит треугольник равнобедренный, МС медиана, тогда DM = МТ.
    Что и требовалось доказать.

б) ВD = 12, АЕ = 2√3. Найти: SΔАВТ.

б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD = 10, АЕ = 2√2.

    В ΔАВТ ВК биссектриса (∠АВЕ = ∠КВТ, как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота (∠ВКТ = 90°), значит и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны АВ = ВТ
    Площадь ΔАВТ будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

blank
    Прямая ЕС пересекает прямые АС и ЕD, образованные накрест лежащие углы равны ∠АСЕ = ∠СЕD (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит АС||ED.     КЕ секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны ∠АКЕ = ∠КЕD = 90°.
    Треугольник ВЕD – прямоугольный (∠КЕD = 90°) вписан в окружность, значит его гипотенуза является диаметром окружности D = 2R = BD = 12.
    По теореме синусов найдём sinα:

blank

blank

blank

    Найдём cosα:

cos2α + sin2α = 1

blank

blank

    Найдём sin∠AВТ = sin (∠AВТ = ∠АВК + ∠КВТ = α + α = 2α):

sin2α = 2sinα·cosα

blank

    ТС = DC = AE = 2√2. Из прямоугольного ΔМТС найдём МТ:

blank

blank

6·MT = √3·2√3
6·MT = 6
MT = 1

    Найдём DT:

DT = 2·МТ = 2·1 = 2

    Найдём ВТ = ВА:

ВТ = ВА = BD – DT = 12 – 2 = 10

    Найдём площадь треугольника АВТ:

blank

Ответ: blank.