На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 68°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
∠АОВ = ‿АВ = 68°
ΔAOB – равнобедренный, т.к. его боковые стороны являются радиусами окружности и равны ОА = ОВ. Углы при основании в нём равны ∠ОАВ = ∠ОВА, найдём их сумму:
∠ОАВ + ∠ОВА + ∠АОВ = 180°
∠ОАВ + ∠ОВА + 68° = 180°
∠ОАВ + ∠ОВА = 180° – 68°
∠ОАВ + ∠ОВА = 112°
Тогда каждый из них равен:
∠ОАВ = ∠ОВА = 112°/2 = 56°
Радиус проведённый к касательной пересекает её под прямым углом:
∠ОВС = 90°
Найдём искомый ∠АВС:
∠АВС = ∠ОВС – ∠ОВА = 90° – 56° = 34°
Ответ: 34.