Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 44‚ МN = 24. Площадь треугольника АВС равна 121. Найдите площадь треугольника MNB.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
ΔАВС и ΔMNB подобны по двум равным углам (∠В общий, ∠ВАС = ∠ВМN – как соответственные при параллельных прямых и секущей).
Из соответствующих сторон подобных треугольников, найдём коэффициент подобия треугольников:
k=\frac{AC}{MN}=\frac{44}{24}=\frac{11}{6}
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta MNB}}=k^{2}\\ \frac{121}{S_{\Delta MNB}}=(\frac{11}{6})^{2}\\ \frac{121}{S_{\Delta MNB}}=\frac{11^{2}}{6^{2}}\\ \frac{121}{S_{\Delta MNB}}=\frac{121}{36}\\ \frac{1}{S_{\Delta MNB}}=\frac{1}{36}
Числители дробей равны, значит и знаменатели равны:
SΔMNB = 36
Ответ: 36.