В параллелограмме ABCD диагонали перпендикулярны. Сумма углов А и С равна 120°, AB = 24. Найдите BD.
Источник: Ященко ЕГЭбаза 2023 (30 вар).
Решение:
В параллелограмме ABCD диагонали перпендикулярны, значит, этот параллелограмм является ромбом:
В ромбе все стороны равны:
АВ = ВС = СD = DA = 24
Противоположные углы равны:
∠А = ∠С = 60°
Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Найдём два других угла ромба:
∠В + ∠D = 360° – ∠А – ∠С = 360° – 60° – 60° = 240°
∠В = ∠D = 240°/2 = 120°
Диагонали ромба является биссектрисой углов (делит угол пополам), значит:
∠ABD = ∠В/2 = 120°/2 = 60°
∠ADB = ∠D/2 = 120°/2 = 60°
В ΔABD все углы равны 60°, значит он равносторонний, тогда:
АВ = AD = BD = 24
Ответ: 24.