Решение №3428 На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:

10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1

У змейки каждое звено повторяется два раза:

2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)

Тогда для змейки с первым звеном 170 длина ломаной находится:

2·(170 + 169 + 168 + … + 1)

В скобках получаем арифметическую прогрессию:

а₁ = 1
а₁₇₀ = 170
n = 170
$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{170}=\frac{(1+170)\cdot 170}{2}=171\cdot 85=14535$

Тогда длина ломанной равна:

2·(170 + 169 + 168 + … + 1) = 2·S₁₇₀ = 2·14535 = 29070

Ответ: 29070.