На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:
10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1
У змейки каждое звено повторяется два раза:
2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)
Тогда для змейки с первым звеном 190 длина ломаной находится:
2·(190 + 189 + 188 + … + 1)
В скобках получаем арифметическую прогрессию:
а1 = 1
а120 = 190
n = 190
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{190}=\frac{(1+190)\cdot 190}{2}=191\cdot 95=18145
Тогда длина ломанной равна:
2·(190 + 189 + 188 + … + 1) = 2·S190 = 2·18145 = 36290
Ответ: 36290.