Каждый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых, начиная со следующего дня, каждый день также заражает новых четырех и так далее. Болезнь длится 14 дней. В какой день станет 3125 заболевших? (В ответе укажите только число.)
Источник задания: math-oge.sdamgia.ru
Решение:
В первый день больной заразит 4-х человек, тогда больных вместе с ним станет:
1 + 4 = 5
Во второй день каждый из 5 больных заразит ещё 4-х, вместе с ними больных станет:
5 + 5·4 = 25
В третий день каждый из 25 больных заразит ещё 4-х, вместе с ними больных станет:
25 + 25·4 = 125
И т.д. Замечаем, что в первый день было 5 больных и каждый следующий день их количество увеличивалась в 5 раз. Это геометрическая прогрессия, где:
b1 = 5;
q = 5;
bn = 3125;
n – ?, день в который больных станет 3125;
Используем формулу n-ого члена геометрической прогрессии и находим из неё n:
bn = b1·qn – 1
3125 = 5·5n – 1
625 = 5n – 1
54 = 5n – 1
4 = n – 1
n = 4 + 1 = 5 дней
Болезнь длится 14 дней, ни кто из заболевших выздороветь не успеет, значит 3125 больных станет в 5-й день.
Ответ: 5.