На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.
Источник задания: fipi.ru
Решение:
Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:
10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1
У змейки каждое звено повторяется два раза:
2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)
Тогда для змейки с первым звеном 120 длина ломаной находится:
2·(120 + 119 + 118 + … + 1)
В скобках получаем арифметическую прогрессию:
а1 = 1
а120 = 120
n = 120
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{120}=\frac{(1+120)\cdot 120}{2}=121\cdot 60=7260
Тогда длина ломанной равна:
2·(120 + 119 + 118 + … + 1) = 2·S120 = 2·7260 = 14520
Ответ: 14520.