На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка»

Источник задания: fipi.ru

Решение:

    Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:

10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1

    У змейки каждое звено повторяется два раза:

2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1
2·(10 + 9 + 8+ … + 1)

Решение №1548 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ...

    Тогда для змейки с первым звеном 120 длина ломаной находится:

2·(120 + 119 + 118 + … + 1)

    В скобках получаем арифметическую прогрессию:

а1 = 1
а120 = 120
n = 120

blank

    Тогда длина ломанной равна:

2·(120 + 119 + 118 + … + 1) = 2·Sn = 2·7260 = 14520

Ответ: 14520.