Найдите наибольшее значение функции
y=20\cdot (e^{–0,05x}-e^{–0,1x})+3
Решение:
y=20\cdot (e^{–0,05x}-e^{–0,1x})+3
Найдем производную функции:
y=20\cdot (e^{–0,05x}\cdot(-0,05) -e^{–0,1x}\cdot (-0,1))+0=-e^{–0,05x}+2e^{–0,1x}
Найдем нули производной:
-e^{–0,05x}+2e^{–0,1x}=0\\-e^{–0,05x}+2e^{–0,05x}\cdot e^{–0,05x}=0\\e^{–0,05x}\cdot (-1+2e^{–0,05x})=0
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
e^{–0,05x}=0
корней нет
или
-1+2e^{–0,05x}=0\\2\cdot e^{–0,05x}=1\\ e^{–0,05\cdot x}=\frac{1}{2}\\(e^{x})^{–0,05}=2^{–1}\:{\color{Blue} |возведём \:в\: степень \:-20} \\(e^{x})^{–0,05\cdot (–20)}=2^{–1\cdot (–20)}\\(e^{x})^{1}=2^{20}\\e^{x}=2^{20}\\x=log_{e}2^{20}=20\cdot log_{e}2
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
e ≈ 2,7
0,5 < loge 2 < 1
10 < 20·loge 2 < 20
Точка максимума: х = 20·loge 2, в этой точке и будет наибольшее значение функции.
Найдём наибольшее значение функции:
y(20\cdot log_{e}2)=20\cdot (e^{–0,05\cdot 20\cdot log_{e}2}-e^{–0,1\cdot 20\cdot log_{e}2})+3=20\cdot (e^{–1\cdot log_{e}2}-e^{–2\cdot log_{e}2})+3=20\cdot (e^{log_{e}2^{–1}}-e^{log_{e}2^{–2}})+3=20\cdot (2^{–1}-2^{–2})+3=20\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+3=20\cdot (0,5-0,25)+3=20\cdot 0,25+3=8
Ответ: 8.