Расстояние между пристанями А и В равно 144 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 66 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
Найдём время в пути плота:
66/3 = 22 часа
Яхта отправилась на два часа позже, т.е. её время:
22 – 2 = 20 часов
Пусть скорость яхты х. Тогда скорость яхты по течению реки x + 3 км/ч, а против течения x – 3 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{144}{x+3} км, а на путь против течения \frac{144}{x–3} км. Зная что всего яхта была в пути 20 часов, составим уравнение:
\frac{144}{x+3}+\frac{144}{x–3}=20{\color{Blue} |: 2}\\\frac{72}{x+3}+\frac{72}{x–3}=10\\\frac{72\cdot (x–3)+72\cdot (x+3)}{(x+3)(x–3)}=10\\\frac{72x+72x}{x^{2}–3^{2}}=10\\\frac{144x}{x^{2}–9}=10{\color{Blue} |: 2}\\\frac{72x}{x^{2}–9}=5\\(x^{2}–9)\cdot 5=72x\\5x^{2}-72x-45=0
D = (–72)2 – 4·5·(–45) = 6084 = 782
x_{1}=\frac{72+78}{2\cdot 5}=\frac{150}{10}=15\\x_{2}=\frac{72–78}{2\cdot 5}=\frac{–6}{10}=-\frac{3}{5}
Скорость яхты может быть только положительна, выбираем 15 км/ч.
Ответ: 15.