Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: Основная волна 2021.
Решение:
Оба автомобилиста проехали одинаковое расстояние, обозначим за 1.
Пусть первый проехал весь путь со скоростью х км/ч. Тогда времени он потратил на весь путь \frac{1}{x}.
Второй автомобилист проехал половину \frac{1}{2} пути со скоростью х – 13 км/ч, а вторую половину пути \frac{1}{2}, со скоростью 78 км/ч. На весь путь времени он затратил:
\frac{\frac{1}{2}}{x-13}+\frac{\frac{1}{2}}{78}
Зная, что в пункт В они прибыли одновременно, т.е. их время в пути равно, составим уравнение:
\frac{1}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{x-13}+\frac{\frac{1}{2}}{78}
Умножим обе части уравнения на 2:
\frac{2}{x}=\frac{1}{x-13}+\frac{1}{78}\\\frac{2}{x}=\frac{1\cdot 78+1\cdot ( x-13)}{78\cdot( x-13)}\\\frac{2}{x}=\frac{65+x}{78\cdot (x-13)}
2·78·(x – 13) = x·(65 + x)
156x – 2028 = 65x + x2
x2 + 65x – 156x + 2028 = 0
x2 – 91x + 2028 = 0
D = (–91)2 –4·1·2028 = 169 = 132
x_{1}=\frac{91+13}{2\cdot 1}=\frac{104}{2}=52\\x_{2}=\frac{91-13}{2\cdot 1}=\frac{78}{2}=39\:{\color{Blue} <48\:\notin }
По условию скорость первого автомобиля больше 48 км/ч, значит она равна 52 км/ч.
Ответ: 52.