Решение №1856 Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = $-\frac{1}{100}$ м⁻¹, b = $\frac{4}{5}$ – постоянные параметры, x (м) – смещение камня по горизонтали, y (м) – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 14 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Источник: mathege

Решение:

a = $-\frac{1}{100}$ м⁻¹

b = $\frac{4}{5}$

y = 14 + 1 = 15 м

Необходимо найти при каком смещении по горизонтали х, камень будет на высоте y = 15 м.

$15=-\frac{1}{100}x^{2}+\frac{4}{5}x\: \: {\color{Blue} |\cdot 100}$

1500 = –x² + 80x
x² – 80x + 1500 = 0

D = (–80)² – 4·1·1500 = 400 = 20²

$x_{1}=\frac{80+20}{2\cdot 1}=\frac{100}{2}=50$

$x_{2}=\frac{80-20}{2\cdot 1}=\frac{60}{2}=30$

Камни будут перелетать через стену на высоте не менее 1 метра, при расположении машины на расстоянии от 30 до 50 метров. Наибольшее расстояние 50 метров.

Ответ: 50.