Две подруги Аня и Юля задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Аня и Юля сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 40 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 26 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 104 см.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 14 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и пятой части длины спицы (зонт в пять сложений). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 2,3 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Найдём пятую часть длины спицы, отняв от длины всего зонта длину ручки:
14 см – 2,3 см = 11,7 см
Если это пятая часть, то вся спица в 5 раз больше:
11,7·5 = 58,5 см
Ответ: 58,5.
Задание 2
«Поскольку зонт сшит из треугольников, – рассуждала Аня, – площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Ани, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 55 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
По первому условию зонт состоит из 8 треугольников с основанием а = 40 см и высотой h = 55 см.
Площадь одного такого треугольника:
S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 26=20\cdot 55=1100
Найдём площадь поверхности зонта, методом Ани:
Sповерхности = 8·SΔ = 8·1100 = 8800 см2
Ответ: 8800.
Задание 3
Таня предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Нам необходимо найти гипотенузу R в прямоугольном треугольнике АВО. АВ равно половине d:
AB = d/2 = 104/2 = 52
Т.к. по условию ОС = R, то:
ОВ = ОС – h = R – 26
По теореме Пифагора найдём ОА = R:
ОА2 = АВ2 + ОВ2
R2 = 522 + (R – 26)2
R2 = 2704 + R2 – 52R + 676
R2 – R2 + 52R = 3380
52R = 3380
R = 3380/52 = 65
Ответ: 65.
Задание 4
Юля нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh‚ где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Юли. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение
S = 2πRh
π ≈ 3,14
R = 65
h = 26
Найдём площадь и округлим до целого:
S = 2πRh = 2·3,14·65·26 = 10613,2 ≈ 10613 см2
Ответ: 10613.
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 30 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 27 зонтов, таких же, как зонт, который был у Ани и Юли. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1150 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение:
Найдём площадь рулона ткани в см2:
S = 30м х 90см = 3000см х 90см = 270000 см2
Помня, что в одном зонте 8 треугольников, найдём сколько ушло ткани на 27 зонтов:
S1 = 27·8·1150 = 248400 см2
Найдём сколько см2 ткани рулона ушло в обрезки:
S2 = S – S1 = 270000 – 248400 = 21600 см2
Найдём сколько это процентов от начального рулона:
\frac{21600}{270000}\cdot 100\%=\frac{216}{2700}\cdot 100\%=\frac{24}{300}\cdot 100\%=\frac{6}{75}\cdot 100\%=\frac{2}{25}\cdot 100\%=\frac{2 \cdot 100}{25}\%=\frac{2 \cdot 4}{1}\%=8\%
Ответ: 8.