Два друга Петя и Вася задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Петя и Вася сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 100 см.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 20 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и четверти длины спицы (зонт в четыре сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 5,9 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Найдём треть длины спицы, отняв от длины всего зонта длину ручки:
20 см – 5,9 см = 14,1 см
Если это треть, то вся спица в 4 раза больше:
14,1·4 = 56,4 см
Ответ: 56,4.
Задание 2
Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Решение
По первому условию зонт состоит из 8 треугольников с основанием а = 38 см и высотой h = 53,1 см.
Площадь одного такого треугольника:
S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 38\cdot 53,1=19\cdot 53,1=1008,9
Найдём площадь поверхности зонта, методом Пети, округлив до ДЕСЯТКОВ:
Sповерхности = 8·SΔ = 8·1008,9 = 8071,2 ≈ 8070 см2
Ответ: 8070.
Задание 3
Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Нам необходимо найти гипотенузу R в прямоугольном треугольнике АВО. АВ равно половине d:
AB = d/2 = 100/2 = 50
Т.к. по условию ОС = R, то:
ОВ = ОС – h = R – 25
По теореме Пифагора найдём ОА = R:
ОА2 = АВ2 + ОВ2
R2 = 502 + (R – 25)2
R2 = 2500 + R2 – 50R + 625
R2 – R2 + 50R = 3125
50R = 3125
R = 3125/50 = 62,5
Ответ: 62,5.
Задание 4
Вася нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh‚ где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение
S = 2πRh
π ≈ 3,14
R = 62,5
h = 25
Найдём площадь и округлим до целого:
S = 2πRh = 2·3,14·62,5·25 = 50·3,14·62,5 = 9812,5 ≈ 9813 см2
Ответ: 9813.
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение:
Найдём площадь рулона ткани в см2:
S = 35м х 80см = 3500см х 80см = 280000 см2
Помня, что в одном зонте 8 треугольников найдём сколько ушло ткани на 29 зонтов:
S1 = 29·8·1050 = 243600 см2
Найдём сколько см2 ткани рулона ушло в обрезки:
S2 = S – S1 = 280000 – 243600 = 36400 см2
Найдём сколько это процентов от начального рулона:
\frac{36400}{280000}\cdot 100\%=\frac{364}{2800}\cdot 100\%=\frac{91}{700}\cdot 100\%=\frac{13}{100}\cdot 100\%=13\%
Ответ: 13.